Évolution des personnages dans un jeu vidéo

Un jeu vidéo fait évoluer un personnage sur un parcours semé d’obstacles. Au début du parcours, ce personnage est doté de \(1\,000\)  pions noirs dans son sac et il n’a pas de pion blanc.

Le nombre de pions noirs diminue au cours du jeu. Le personnage gagne \(10\) pions blancs par minute jouée. Chaque partie est chronométrée et dure \(45\)  minutes. Au bout des \(45\) minutes, la partie s’arrête et le joueur a gagné si le nombre de pions blancs gagnés est supérieur ou égal au nombre de pions noirs du sac.

1. Étude de l’évolution du nombre de pions blancs

On note \(u_n\)  le nombre de pions blancs obtenus au bout de \(n\)  minutes de jeu.
Ainsi \(u_0 = 0\) .
Déterminer la nature de la suite \(\left(u_n\right)\)  et en déduire, pour tout entier \(n\) , l’expression de \(u_n\)  en fonction de \(n\) .

2. Étude de l’évolution du nombre de pions noirs

Lucas estime que, au cours d’une partie, le nombre de ses pions noirs diminue de \(2\)  % par minute. Il voudrait savoir si cette évolution est suffisante pour gagner, ou s’il doit poursuivre son entraînement.
On note \(v_n\)  le nombre de pions noirs restant à la \(n\) -ième minute.
Ainsi \(v_0 = 1\,000\) .
    a. Justifier que \(v_1 = 980\) .
     b. Déterminer la nature de la suite \(\left(v_n\right)\)  et en déduire, pour tout entier \(n\) , l’expression de \(v_n\)  en fonction de \(n\) .

3. On a calculé les premiers termes des suites \(\left(u_n\right)\)  et \(\left(v_n\right)\)  à l’aide d’un tableur. La feuille de calcul est donnée ci-dessous. Les termes de la suite \(\left(v_n\right)\)  ont été arrondis à l’unité.
Lucas peut-il gagner la partie ?